Halbtonschritte II

Dieser Artikel ist eine Fortführung der Artikels: Halbtonschritte I

Wir haben dort für die Oktave zwischen a1 (440 Hz) und a2 (880 Hz) mit der gleichmäßigen Schrittweite von Schrittweite von 36,67 Hz 12 Halbtonschritte geschaffen. Woran liegt jetzt aber dabei das Problem?

Wenn wir das ganze für die Oktave zwischen a2 (880 Hz) und a3 (1760 Hz) wiederholen, dann kommen wir auf eine Schrittweite von 73,33 Hz.

Ton / Halbtonschritt
Frequenz bei gleichmäßiger Aufteilung der Oktave
Soundbeispiel

Root (a1)

880,00 Hz

1. Halbtonschritt

953,33 Hz

2. Halbtonschritt

1026,67 Hz

3. Halbtonschritt

1100,00 Hz

4. Halbtonschritt

1173,33 Hz

5. Halbtonschritt

1246,67 Hz

6. Halbtonschritt

1320,00 Hz

7. Halbtonschritt

1393,33 Hz

8. Halbtonschritt

1466,67  Hz

9. Halbtonschritt

1540,00 Hz

10. Halbtonschritt

1613,33 Hz

11. Halbtonschritt

1686,67 Hz

12. Halbtonschritt (a2)

1760,00 Hz

880Hz Sinuston
953.33Hz Sinuston
1026.67Hz Sinuston
1100.00Hz Sinuston
1173.33Hz Sinuston
1246.67Hz Sinuston
1320.00Hz Sinuston
1393.33Hz Sinuston
1466.67Hz Sinuston
1540.00Hz Sinuston
1613.33Hz Sinuston
1686.67Hz Sinuston
1760Hz Sinuston

Als chromatische Tonleiter klingt das dann so:

Chromatisch 2Martin Seiler
00:00 / 00:26

Gehen wir ein Stück weiter in der Betrachtung:

Von jedem Ton aus soll eine Oktave möglich sein und die erzeugen wir durch die Verdopplung der Frequenz.

Betrachten wir also die Töne die wir durch die gleichmäßige Unterteilung in 12 Schritte a 36,67Hz zwischen 440Hz und 880Hz erzeugt haben und schauen mal, wie das mit den Tönen korrespondiert, die wir zwischen 880Hz und 1760Hz durch die gleichmäßige Unterteilung in 12 Schritte a 73,33Hz erzeugt haben.

Wir finden zu jedem Ton aus dem Bereich zwischen 440Hz und 880Hz die Verdoppelte Frequenz in den Tönen, die wir zwischen 880Hz und 1760Hz erzeugt haben.

 

440,00Hz -> 880,00Hz

467,67Hz -> 953,33Hz

513,33Hz -> 1026,67Hz

550,00Hz -> 1100,00Hz

586,67Hz -> 1173,33Hz:

623,33Hz -> 1246,67Hz

660,00Hz -> 1320,00Hz

696,67Hz -> 1393,33Hz

733,33Hz -> 1466,67Hz

770,00Hz -> 1540,00Hz

806,67Hz -> 1613,33Hz

843,33Hz -> 1686,67Hz

880,00Hz -> 1760,00Hz

Das sieht alles gut soweit aus, aber wie sieht es beim Übergang zwischen den Tonvorräten 440,00-880Hz und 880,00-1760Hz aus?

Das würde bedeuten, wir hätten auf einmal einen Sprung in der Schrittweite zwischen Halbtönen:

843,33 Hz -> 880 Hz -> 953,33 Hz

Der Schritt vor den 880 Hz ist nur 36,67 Hz der Schritt nach 880 Hz ist dann aber 73,33 Hz also bis auf Rundungsfehler das Doppelte!.

843,33 Sinuston
880Hz Sinuston
953.33Hz Sinuston

Hier nochmal nacheinander abgespielt:

843,33Hz; 800Hz; 953,33 HzMartin Seiler
00:00 / 00:06

Im Vergleich dazu, wie es sich bei der Schrittweite von 36,67 Hz anhört:

843,33 Sinuston
880Hz Sinuston
916,67Hz Sinuston

Wiederum nacheinander abgespielt:

843,33Hz; 880Hz; 916,67HzMartin Seiler
00:00 / 00:06

Und was passiert, wenn ich eine andere Oktave in 12 Halbtöne zerteile? Beispiel die Oktave die durch die Frequenzen 660Hz uns 1320Hz gebildet werden? Die Töne dieser Oktave sollte auch in unserem vorher gebildeten Tonvorrat vorkommen, da 660Hz ja durch den 6ten halbtonschritt ausgehend von 440Hz und einer Schrittweite von 36,67Hz gebildet wird.

Die Schrittweite wäre dann 660Hz/12 = 55Hz. Das führt dann zu folgenden Tönen:

Root

660 Hz

1. Halbtonschritt

715 Hz

2. Halbtonschritt

770 Hz

3. Halbtonschritt

825 Hz

4. Halbtonschritt

880 Hz

5. Halbtonschritt

935 Hz

6. Halbtonschritt

990 Hz

7. Halbtonschritt

1045 Hz

8. Halbtonschritt

1100 Hz

9. Halbtonschritt

1155 Hz

10. Halbtonschritt

1210 Hz

11. Halbtonschritt

1265 Hz

12. Halbtonschritt

1320 Hz

660Hz Sinuston
715Hz Sinuston
770Hz Sinuston
825Hz Sinuston
880Hz Sinuston
935Hz Sinuston
990Hz Sinuston
1045Hz Sinuston
1100.00Hz Sinuston
1155Hz Sinuston
1210Hz Sinuston
1265Hz Sinuston
1320.00Hz Sinuston

Die grün markierten Frequenzen finden wir in unserem vorher gebauten Tonvorrat, die schwarzen Frequenzen würden dann neue Töne bilden. Und mit jedem weiteren neuen Ton können wieder Oktaven gebildet werden, die wir wieder unterteilen könnten um dann wieder neue Töne zu finden...

Wir haben aber schon jetzt zwischen 440Hz und 1760Hz statt 25 Tönen, die wir bräuchten 33 Töne. Überprüft das einfach Anhand einer Klaviatur.

Das Verfahren der gleichmäßigen Unterteilung funktioniert also nicht gut, wenn ich einen anderen Ton als Grundton für eine  Unterteilung einer neuen Oktave hernehme.

Falls es genug Interessenten gibt, werde ich auch historisch beleuchten, wie sich der Tonvorrat entwickelt hat.

Schreibt mit einfach.

Im Artikel Der Tonvorrat beschreiben wir, wie wir tatsächlich unsere Instrumente stimmen.