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Halbtonschritte II
Dieser Artikel ist eine Fortführung der Artikels: Halbtonschritte I
Wir haben dort für die Oktave zwischen a1 (440 Hz) und a2 (880 Hz) mit der gleichmäßigen Schrittweite von Schrittweite von 36,67 Hz 12 Halbtonschritte geschaffen. Woran liegt jetzt aber dabei das Problem?
Wenn wir das ganze für die Oktave zwischen a2 (880 Hz) und a3 (1760 Hz) wiederholen, dann kommen wir auf eine Schrittweite von 73,33 Hz.
Ton / Halbtonschritt
Frequenz bei gleichmäßiger Aufteilung der Oktave
Soundbeispiel
Root (a1)
880,00 Hz
1. Halbtonschritt
953,33 Hz
2. Halbtonschritt
1026,67 Hz
3. Halbtonschritt
1100,00 Hz
4. Halbtonschritt
1173,33 Hz
5. Halbtonschritt
1246,67 Hz
6. Halbtonschritt
1320,00 Hz
7. Halbtonschritt
1393,33 Hz
8. Halbtonschritt
1466,67 Hz
9. Halbtonschritt
1540,00 Hz
10. Halbtonschritt
1613,33 Hz
11. Halbtonschritt
1686,67 Hz
12. Halbtonschritt (a2)
1760,00 Hz
Als chromatische Tonleiter klingt das dann so:
Gehen wir ein Stück weiter in der Betrachtung:
Von jedem Ton aus soll eine Oktave möglich sein und die erzeugen wir durch die Verdopplung der Frequenz.
Betrachten wir also die Töne die wir durch die gleichmäßige Unterteilung in 12 Schritte a 36,67Hz zwischen 440Hz und 880Hz erzeugt haben und schauen mal, wie das mit den Tönen korrespondiert, die wir zwischen 880Hz und 1760Hz durch die gleichmäßige Unterteilung in 12 Schritte a 73,33Hz erzeugt haben.
Wir finden zu jedem Ton aus dem Bereich zwischen 440Hz und 880Hz die Verdoppelte Frequenz in den Tönen, die wir zwischen 880Hz und 1760Hz erzeugt haben.
440,00Hz -> 880,00Hz
467,67Hz -> 953,33Hz
513,33Hz -> 1026,67Hz
550,00Hz -> 1100,00Hz
586,67Hz -> 1173,33Hz:
623,33Hz -> 1246,67Hz
660,00Hz -> 1320,00Hz
696,67Hz -> 1393,33Hz
733,33Hz -> 1466,67Hz
770,00Hz -> 1540,00Hz
806,67Hz -> 1613,33Hz
843,33Hz -> 1686,67Hz
880,00Hz -> 1760,00Hz
Das sieht alles gut soweit aus, aber wie sieht es beim Übergang zwischen den Tonvorräten 440,00-880Hz und 880,00-1760Hz aus?
Das würde bedeuten, wir hätten auf einmal einen Sprung in der Schrittweite zwischen Halbtönen:
843,33 Hz -> 880 Hz -> 953,33 Hz
Der Schritt vor den 880 Hz ist nur 36,67 Hz der Schritt nach 880 Hz ist dann aber 73,33 Hz also bis auf Rundungsfehler das Doppelte!.
Hier nochmal nacheinander abgespielt:
Im Vergleich dazu, wie es sich bei der Schrittweite von 36,67 Hz anhört:
Wiederum nacheinander abgespielt:
Und was passiert, wenn ich eine andere Oktave in 12 Halbtöne zerteile? Beispiel die Oktave die durch die Frequenzen 660Hz uns 1320Hz gebildet werden? Die Töne dieser Oktave sollte auch in unserem vorher gebildeten Tonvorrat vorkommen, da 660Hz ja durch den 6ten halbtonschritt ausgehend von 440Hz und einer Schrittweite von 36,67Hz gebildet wird.
Die Schrittweite wäre dann 660Hz/12 = 55Hz. Das führt dann zu folgenden Tönen:
Root
660 Hz
1. Halbtonschritt
715 Hz
2. Halbtonschritt
770 Hz
3. Halbtonschritt
825 Hz
4. Halbtonschritt
880 Hz
5. Halbtonschritt
935 Hz
6. Halbtonschritt
990 Hz
7. Halbtonschritt
1045 Hz
8. Halbtonschritt
1100 Hz
9. Halbtonschritt
1155 Hz
10. Halbtonschritt
1210 Hz
11. Halbtonschritt
1265 Hz
12. Halbtonschritt
1320 Hz
Die grün markierten Frequenzen finden wir in unserem vorher gebauten Tonvorrat, die schwarzen Frequenzen würden dann neue Töne bilden. Und mit jedem weiteren neuen Ton können wieder Oktaven gebildet werden, die wir wieder unterteilen könnten um dann wieder neue Töne zu finden...
Wir haben aber schon jetzt zwischen 440Hz und 1760Hz statt 25 Tönen, die wir bräuchten 33 Töne. Überprüft das einfach Anhand einer Klaviatur.
Das Verfahren der gleichmäßigen Unterteilung funktioniert also nicht gut, wenn ich einen anderen Ton als Grundton für eine Unterteilung einer neuen Oktave hernehme.
Falls es genug Interessenten gibt, werde ich auch historisch beleuchten, wie sich der Tonvorrat entwickelt hat.
Im Artikel Der Tonvorrat beschreiben wir, wie wir tatsächlich unsere Instrumente stimmen.